新生代

曾几何时，社会上流行着这么两句话。一句是说社会变化快的：“这个年代什么都在变，唯一不变的就是变化本身”。还有一句是说社会上的假东西很多：“这年头，除了骗子，什么都是假的”。

这样的表述多少有些诙谐，然而还是很令人回味的。

仔细思考，这表述虽然有些tricky，然而却是很好构造的。这与数学上的不动点理论，有着某种类似。

有这样一个问题：

假如你用一个周末去爬香山。周六的时候你从早上7点开始上山，到了下午7点的时候你上到了山顶。于是，你就住在山顶了。周日的早上，你从7点开始沿原路下山，到了下午7点的时候你到了昨天的起点。那么，你会意识到么：在你上山和下山时，必有同一时刻你处于同一个地点？

正面思考这个问题不是很容易。然而，稍稍换一个角度就迎刃而解了。假设你从山下7点开始上山，晚上7点的时候到达山顶。想像在同一天，我从山上7点开始下山，晚上7点的时候到达山脚。如果我们走的是同一条山路。那么我们必定在某一时间相遇。而相遇就意味着我们在同一时刻处于同一地点。

这就是数学上不动点的一个简单应用。我觉得其趣味性比其理论性似乎更加重要。

抽象一点的例子是：设有两个一元连续函数f(x)和g(x)。它们的值域和定义域都是[0,1]。那么可以肯定，一定在定义域内存在某一点y，使得f(y)=g(y)。证明也和上题类似，只需要考虑函数的图像，他们必然相交。

再举一个有意思的例子。有两张一样大的正方形纸片。将其中一个平辅在桌上。把另一个平辅在第一张的上面。让我们假设他们之间的点有一个一一对应关系。现在把上面的纸拿起来，揉成一个纸团。然后随意将纸团扔在第一张纸的上面。只要保证纸团的任一部分不在平辅纸面的外面。那么，纸团上必有一点仍和平辅纸面中的原来那一点保持着原有的一一对应关系。换句话说，纸团上必有一点，仍然在原来那一点的正上方。

—————————-

如果你有更多的关于不动点的现实的例子或其简单易懂的理论，亦或对我的表述有所改进。请回复告之。谢谢。

问题：a bug on a string

20040930001

     1. 问题描述

     有一条长为1m的绳子，其一端有一只小虫。小虫以恒定的对地速度1cm/s向绳子的另一端爬行。小虫所在的绳子的一端对地静止，另一端以对地速度10cm/s拉伸。整个绳子的各个位置上，都均匀伸展。小虫的爬行和绳子的拉伸是同时开始的。试问：

    (1). 小虫子会到达绳子的另一端么？
    (2). 如果你认为上一个问题的答案是肯定的，那么请计算出小虫爬到另一端的时间。

     2. 分析

     首选要明确的是：小虫的对地速度(v)应为其所在处的绳子的速度(w)与1cm/s之和。这样小虫会越走越快，有可能到达另一端。

     小虫所在处的绳子的速度与该处到起点距离(x)和总绳长的比有关，设此时距开始t秒：

w=frac{x}{100+10t}times 10    (1)

     这样一来小虫的速度v就可以表示为：

v=w+1=frac{x}{10+t}+1    (2)

     这个表达式一出来，剩下的就是解方程了。我们知道，当小虫到达另一端时，其速度应为11cm/s。于是有：

我们得用v={dao{x}}/{dao{t}}对式(1)进行整理：

frac{dao{x}}{dao{t}}(10+t)=x+10+t

两边对t求导：

frac{dao{^2x}}{dao{t^2}}(10+t)+frac{dao{x}}{dao{t}}=frac{dao{x}}{dao{t}}+1

此式即可化为一个很简单的微分方程：

frac{dao{^2x}}{dao{t^2}}=frac{1}{10+t}

两边对t积分，即可得出v–t之间的表达式：

v=ln(10+t)+C

由于t=0时v=1，可以确定常数C=1-ln(10)。于是：

v=ln(1+frac{t}{10})+1

考虑终点的情况v_{text{终}}=11，有：

10=ln(1+frac{t_{text{终}}}{10})

因此，用时为10~(mathrm{e}^{10}-1)approx220255(text{s})approx61(text{h})。

将此式代入式(2)可得：

x_{text{终}}=100(1+frac{t_{text{终}}}{10})=100~mathrm{e}^{10}approx2202647(text{cm})approx22(text{km})

因此，此题的答案是：小虫可以到达绳子的另一端，需要用时约61小时。

     3. 由此及彼

     此题的计算对于一个学习过高等数学的人来说，不是一件很困难的事情。然而，如果你仔细回想小虫子爬行的整个过程，是不是和宇宙膨胀很类似呢？宇宙膨胀的事实，是通过观察天体，发现所有的天体都在远离地球而确定的。当我们站在这道题目中所说的绳子运动的一端时，我们会发现，在开始后的一段时间里，绳子上的每一个点以及小虫都在远离我们。而最后的一段时间里，绳子上的所有点仍旧在远离端点，而小虫却在靠近我们。我们可以计算一下小虫相对我们静止时的时间tapprox81021(text{s})approx22(text{h})。这也就是说，小虫有将近65%的时间是在靠近我们。

     上面的描述不就是对太空旅行的一个很好的模拟么？可以想像，若一个恒星以光速远离我们，我们若用十分之一的光速向其行进，那么在开始的三分之一的时间里，我们看到的却是恒星继续远离我们。如果我们发现恒星相对我们已经基本静止，那就说明我们还需要两倍的时间才能达到。当然，这里的讨论没有涉及相对论，也许深入下去的讨论会更有意思。

现在是时间讨论一下年青人和门后的老虎这个问题了。

很多人认为这不是一个悖论。我不想说服谁，我在这里把这个问题做一个变形，以使得其看上去更想是一个悖论。当然，我自信我的变形使得变形后的问题有原问题是同一个问题。我给出的是一个命题和证明的形式。

 

 

这个命题和证明看上去都没有什么问题，但它的结论和我们的常识严重相悖。

很多人会为这是否是个悖论而急论，也有很多人为解决这个悖论而苦恼。无论怎样，这都是一个有意思的题目。我个人更倾向于这是逻辑自身的问题，即使有很多人会认为这是自然语言的不完善造成的。正如我开篇说到的那样，理性是逻辑的存在方式。对逻辑的反思就是对理性的理性思考。

逻辑的悖论会给人们带来痛苦，驾驭它的一定不是理性本身。

（希望在找到合适的话题后，能够继续讨论。）

我们先考虑这样一种情况，那就是如果最后只剩两个海盗的情况。第9号海盗会把所有的金子分给自己，并在投票中选自己一票。这样，其方案就以至少半数而通过。由于第10号海盗就会想，这样的情况对自己是不利的，因为在第8号海盗提出方案时，只要8号给自己一点好处，自己就不能不支持其方案。这样，在剩三个海盗时，8号就想到了10号会基于这样的考虑，于是8号想要方案通过，就必须给10号1两，自己99两。这样，8号的方案定会由于10号的支持而通过。但此时，9号就陷入了最不利的情况。因此，他必定需要支持7号，以防止8号做出对自己不利的分配。7号要想方案通过，就需要给9号1两，自己99两，这样，就会因为9号的投票而使方案顺利通过。

讲到这里，结果应该很清楚了。1号要想方案通过而且自己获利最大，就需要给3号、5号、7号、9号各1两，自己便可得96两。而其方案，又会因为上述几人的支持而以半数通过。

这个结果和平均值10两具有巨大的差别。然而我们现在再考虑一下200个海盗分这100两黄金的情况，结果更有意思，那就是1、3、5、……199这100个海盗每人分得1两。当然，此时对于1号海盗来说，这简直就是保命的做法。如果此时我们再加一个人呢？估且称之为0号海盗，他第一个提出方案。我想，他的方案必定还是这样，否则他就没有命了。当然他也可以把金子分给2、4、6、……200这100个海盗，他的方案仍可以被通过。如果再多一个称之为-1号的海盗呢？情况和0号是一样的，因为有202个海盗，100个有金子的会支持，加上自己刚好半数。

再来一个-2号吧。这时需要有102人支持才能通过。可这时无论他把这100两分给谁，这100个人和他自己以外的任何人都没有支持的必要。假如他把金子分别给了1、3、5、……199这100个人，他们自然会支持。问题是0号和-1号是否会支持呢？由于他们两个人无论支持与否对自己的利益都没有影响，他们可以支持也可以不支持。即便-2号没有通过，他们自己也都有可通过的方案，他们是不是会权衡杀死-2号和自己举起手这两件事之间的得失呢？显然，这里就和利益的思考有关。我们就认为他们不会举手，这样-2号就必死无疑了。

如果有-3号呢？他同样需要102人的支持才能活下去。除了拿金子的100人和他自己，肯定支持他的应该是-2号，这是毫无疑问的。

-4号需要103人的支持，然而他最多也只能得到101票，因此他会死掉。

-5号在得到必得的101票后，还能再得到-4号的1票，但已经与事无补。

-6号需要104票，可他只能得到101+2=103票。

-7号就幸运了，他需要104，除了必得的101，他还有-4、-5、-6的支持。

因此可以继续分析，得以生幸免的是0、-1、-3、-7、-15、-31、……-2ⁿ+1号。

如果有500个海盗，真正可以生还的是-255号，在他以前的44个海盗必死无疑。

（又是一个公主的爱情故事……）

有一个国王，他有一个女儿（不许笑）。她爱上了一个年青人（请严肃）。她能和他永远在一起。于是她把自己的想法告诉了国王。国王说他只要能通过考试，就可以让他们成婚。

第二天，年青人被叫到了王宫。国王在他的面前放了5扇门。国王说：“请你顺次打开这5扇门。请注意，在5扇门的后面有一只老虎，而且在你打开有老虎的那扇门之前，我保证你不会预先知道里面有老虎”。

年青人是一个自学成材的数学家，他开始分析国王的话……

“如果老虎在第五个门里，那么，当他打开前四个门后发现没有老虎，那么他就可以断定老虎在第五个门里。但国王说在打开有老虎的门之前是不会知道的，因此老虎不会在第五个门。那老虎会在第四个门里么？根据同样的理由，也不会。于是，天呀，所有的门后都没有老虎。国王对我真好呀……”

于是，年青人高兴地去开门了。可谁想到，老虎在他打开第2个门后，就窜了出来。

……

国王的话应验了，年青人的推理也没有问题？为什么会这样呢？

我们先假设只有一只病狗。那么这只狗的主人看到的，将是49只健康的狗，但由于必有生病的狗，所以他马上可以断定自己的狗是生病的。于是，第一天，他就会将自己的狗打死。这种情况比较简单。

下面我们来考虑有两只病狗的情况，

其中任一只病狗的主人都会看到有一只病狗，这时他就会进行分析。如果他自己的狗没有生病，那么，他所看到的那只病狗的主人会在今天把狗杀死。换句话说，如果那个人今天不把狗杀死，那只有一种可能，就是自己的狗也是病狗。因此，就会出现两个人都在等着对方把狗杀死。但两个人都没有杀死，这样，到了第二天，他们一定可以判断出来，自己的狗是有病的。

通过对两只病狗的分析，我们已经可以了解到病狗主人的推理过程，其结果就是：有一只病狗，就会在第一天杀死；有两只病狗就，会在第二天杀死；以此类推，有几只病狗就会在第几天杀死。所以，原题中共有三只病狗。

有十个海盗，他们抢到了100两黄金。这些黄金以两为最小单位且不再进行分割。十个海盗按照威望的高低，先后提出一个分配黄金的方案。所有的海盗根据所提方案，用理性的方法分析个人的得失。此后，集体进行投票。当一个方案有半数或半数以上的人同意，就可以按此方案进行分配。否则，将把提出方案的海盗丢进大海，由剩下的威望最高的海盗提出新的方案。

可以明确的告诉你，第一个提出方案的海盗肯定有能够被通过的方案，请问这个方案是什么？

如果不是十个，而是200个海盗，情况又会怎样呢？

人是理性的动物，理性是逻辑的存在方式。数学就是逻辑的全部。

 

只有诗人的世界是颠狂的，只有数学家的世界是消沉的。

 

我不想说纯粹的理性是脱缰的野马，但至少它总是带给人们痛苦。我热爱数学，我推崇理性，但现在的我在用理性反省理性。我不认为理性可以自觉，因此反省本身不应是纯粹的。理性是完美，然而它不是开放的，完美再往前一步便是荒谬与丑陋，正如真理和谬误一样。说教总是枯燥的，思考一些小问题会有更具体的体会。

 

 

这个题目本身对问题做了一些限定，这就使得很多情况和我们的现实不相符。如“狗的主人不能看见自己的狗是否有病”等。然而，这些就是所谓的“游戏”规则。但如果按着这个规则做出这道题，做题者必有两点体会：一是这种情况现实中是不可出现的，二是狗的主人都是天才数学家且不会判断失误。

其实这两点体会之间的关系应该是这样的：狗的主人必须都是天才数学家且不会判断失误，但这样的人是不会在现实中出现的，所以题目中所述情形，也就不会出现在实现之中了。