为什么正方形的点和它的一条边上的点一样多

上次的blog里提出了这个问题，但没有人讨论，似乎大家都更关心秘籍。但是我还是更愿意讨论一下正方形和它一条边上的点一样多的问题。

 

这个问题归根结底，实际上是要证明实数和实数对之间存在一一对应关系。让我们把问题归结为[0,1]之间的实数。如果你问我，为什么一条线段上的点可以和[0,1]之间的数有一一对应关系，那我还没有现成的道理。暂且在这里当作一个已经前提。（关于[0,1]和R之间的一一对应关系，似乎可以再做讨论。）

 

于是，我们要做的就是证明[0,1]之间实数k和[0,1]之间的实数对(x,y)存在一一对应关系。

 

我最初是想k=(x+y)/2之类的，但k不能唯一确定(x,y)。最近想到的方法是这样的：

 

因为所有的实数都可以写成无限小数，所以，令k为这样的一个实数：它小数点后第2n-1个数字是对应的x的第n个数字，它小数点后第2n个数字是对应的y的第n个数字。这样一个，k与(x,y)之间就有了一一对应关系。比如k=0.1234567，对应的x=0.1357, y=0.246。后之也成立。对于k=1，我们尽可以应用1=0.99999999999…的常识。