小虫子与太空旅行

问题：a bug on a string

20040930001

     1. 问题描述

     有一条长为1m的绳子，其一端有一只小虫。小虫以恒定的对地速度1cm/s向绳子的另一端爬行。小虫所在的绳子的一端对地静止，另一端以对地速度10cm/s拉伸。整个绳子的各个位置上，都均匀伸展。小虫的爬行和绳子的拉伸是同时开始的。试问：

    (1). 小虫子会到达绳子的另一端么？
    (2). 如果你认为上一个问题的答案是肯定的，那么请计算出小虫爬到另一端的时间。

     2. 分析

     首选要明确的是：小虫的对地速度(v)应为其所在处的绳子的速度(w)与1cm/s之和。这样小虫会越走越快，有可能到达另一端。

     小虫所在处的绳子的速度与该处到起点距离(x)和总绳长的比有关，设此时距开始t秒：

w=frac{x}{100+10t}times 10    (1)

     这样一来小虫的速度v就可以表示为：

v=w+1=frac{x}{10+t}+1    (2)

     这个表达式一出来，剩下的就是解方程了。我们知道，当小虫到达另一端时，其速度应为11cm/s。于是有：

我们得用v={dao{x}}/{dao{t}}对式(1)进行整理：

frac{dao{x}}{dao{t}}(10+t)=x+10+t

两边对t求导：

frac{dao{^2x}}{dao{t^2}}(10+t)+frac{dao{x}}{dao{t}}=frac{dao{x}}{dao{t}}+1

此式即可化为一个很简单的微分方程：

frac{dao{^2x}}{dao{t^2}}=frac{1}{10+t}

两边对t积分，即可得出v–t之间的表达式：

v=ln(10+t)+C

由于t=0时v=1，可以确定常数C=1-ln(10)。于是：

v=ln(1+frac{t}{10})+1

考虑终点的情况v_{text{终}}=11，有：

10=ln(1+frac{t_{text{终}}}{10})

因此，用时为10~(mathrm{e}^{10}-1)approx220255(text{s})approx61(text{h})。

将此式代入式(2)可得：

x_{text{终}}=100(1+frac{t_{text{终}}}{10})=100~mathrm{e}^{10}approx2202647(text{cm})approx22(text{km})

因此，此题的答案是：小虫可以到达绳子的另一端，需要用时约61小时。

     3. 由此及彼

     此题的计算对于一个学习过高等数学的人来说，不是一件很困难的事情。然而，如果你仔细回想小虫子爬行的整个过程，是不是和宇宙膨胀很类似呢？宇宙膨胀的事实，是通过观察天体，发现所有的天体都在远离地球而确定的。当我们站在这道题目中所说的绳子运动的一端时，我们会发现，在开始后的一段时间里，绳子上的每一个点以及小虫都在远离我们。而最后的一段时间里，绳子上的所有点仍旧在远离端点，而小虫却在靠近我们。我们可以计算一下小虫相对我们静止时的时间tapprox81021(text{s})approx22(text{h})。这也就是说，小虫有将近65%的时间是在靠近我们。

     上面的描述不就是对太空旅行的一个很好的模拟么？可以想像，若一个恒星以光速远离我们，我们若用十分之一的光速向其行进，那么在开始的三分之一的时间里，我们看到的却是恒星继续远离我们。如果我们发现恒星相对我们已经基本静止，那就说明我们还需要两倍的时间才能达到。当然，这里的讨论没有涉及相对论，也许深入下去的讨论会更有意思。