变与不变

曾几何时，社会上流行着这么两句话。一句是说社会变化快的：“这个年代什么都在变，唯一不变的就是变化本身”。还有一句是说社会上的假东西很多：“这年头，除了骗子，什么都是假的”。

这样的表述多少有些诙谐，然而还是很令人回味的。

仔细思考，这表述虽然有些tricky，然而却是很好构造的。这与数学上的不动点理论，有着某种类似。

有这样一个问题：

假如你用一个周末去爬香山。周六的时候你从早上7点开始上山，到了下午7点的时候你上到了山顶。于是，你就住在山顶了。周日的早上，你从7点开始沿原路下山，到了下午7点的时候你到了昨天的起点。那么，你会意识到么：在你上山和下山时，必有同一时刻你处于同一个地点？

正面思考这个问题不是很容易。然而，稍稍换一个角度就迎刃而解了。假设你从山下7点开始上山，晚上7点的时候到达山顶。想像在同一天，我从山上7点开始下山，晚上7点的时候到达山脚。如果我们走的是同一条山路。那么我们必定在某一时间相遇。而相遇就意味着我们在同一时刻处于同一地点。

这就是数学上不动点的一个简单应用。我觉得其趣味性比其理论性似乎更加重要。

抽象一点的例子是：设有两个一元连续函数f(x)和g(x)。它们的值域和定义域都是[0,1]。那么可以肯定，一定在定义域内存在某一点y，使得f(y)=g(y)。证明也和上题类似，只需要考虑函数的图像，他们必然相交。

再举一个有意思的例子。有两张一样大的正方形纸片。将其中一个平辅在桌上。把另一个平辅在第一张的上面。让我们假设他们之间的点有一个一一对应关系。现在把上面的纸拿起来，揉成一个纸团。然后随意将纸团扔在第一张纸的上面。只要保证纸团的任一部分不在平辅纸面的外面。那么，纸团上必有一点仍和平辅纸面中的原来那一点保持着原有的一一对应关系。换句话说，纸团上必有一点，仍然在原来那一点的正上方。

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如果你有更多的关于不动点的现实的例子或其简单易懂的理论，亦或对我的表述有所改进。请回复告之。谢谢。